Задача 107829

Темы:    [ Шестиугольники ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Произволов В.В.

В выпуклом шестиугольнике AC₁BA₁CB₁   AB₁ = AC₁,  BC₁ = BA₁,  CA₁ = CB₁  и  ∠A + ∠B + ∠C = ∠A₁ + ∠B₁ + ∠C₁.
Докажите, что площадь треугольника ABC равна половине площади шестиугольника.

Решение

Отрежем от шестиугольника треугольники  BA₁C, CB₁A, AC₁B  и приложим их друг к другу так, чтобы вершины A₁, B₁ и C₁ совместились, сторона A₁C первого треугольника совместилась со стороной B₁C второго, а сторона B₁A второго – со стороной C₁A третьего. Так как сумма углов шестиугольника равна 720°, то  ∠A₁ + ∠B₁ + ∠C₁ = 360°.  Отсюда следует, что сторона C₁B третьего треугольника автоматически совместится со стороной A₁B первого. Таким образом, из трёх отрезанных треугольников мы сложили треугольник со сторонами, равными  BC, CA и AB.  Значит,  S_BA1C + S_CB1A + S_AC1B = S_ABC,  что и требовалось доказать.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	18
Дата	1996/1997
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	4
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	60
Год	1997
вариант
Класс	9
задача
Номер	3