Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых
согласованно вращающихся шестерёнок так, чтобы углы между сцепленными
шестерёнками были не меньше 150°? При этом:
для простоты шестёренки считаются кругами;
шестерёнки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;
угол между сцепленными шестерёнками – это угол между радиусами
их окружностей, проведёнными в точку касания;
первая шестерёнка должна быть сцеплена со второй, вторая – с
третьей, и т. д., 61-я – с первой, а другие пары шестерёнок не должны иметь общих точек.
В вершинах 33-угольника записали в некотором порядке целые числа от 1 до 33. Затем на каждой стороне написали сумму чисел в её концах.
Могут ли на сторонах оказаться 33 последовательных целых числа (в каком-нибудь порядке)?
Найдите наибольшее значение функции y = 16x-4 sin x+8 на отрезке [-;0] .
Можно ли вписать октаэдр в додекаэдр так, чтобы каждая вершина октаэдра была вершиной додекаэдра?
Три равные окружности пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник с вершинами в остальных точках попарного пересечения окружностей равен треугольнику с вершинами в центрах окружностей.
Найдите все углы α , для которых набор чисел sinα , sin2α , sin3α совпадает с набором cosα , cos2α , cos3α .
Числа x, y, z удовлетворяют равенству x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz = ½. Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.
|
|
 |
Условие
Числа x, y, z удовлетворяют равенству x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz = ½. Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.
Решение
Заметим, что x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz – ½ = ½ (2x – 1)(2y – 1)(2z – 1). Если левая часть равенства равна нулю, то хотя бы один множитель справа равен нулю. Значит, одно из чисел x, y, z равно ½.
Замечания
Догадаться до разложения на множители может помочь теорема Безу (см. задачу 60961): при x = ½ наш многочлен обращается в ноль, значит, он делится на x – ½.
Другой способ: согласно обратной теореме Виета P(x, y, z) = – 4f (½), где f(t) = (t – x)(t – y)(t – z).
