В правильном 25-угольнике проведены все диагонали. Докажите, что нет девяти диагоналей, проходящих через одну внутреннюю точку 25-угольника.

   Решение

Андрей Степанович каждый день выпивает столько капель валерьянки, сколько в этом месяце уже было солнечных дней (включая текущий день). Иван Петрович каждый пасмурный день выпивает количество капель валерьянки, равное номеру дня в месяце, а в солнечные дни не пьет. Докажите, что если в апреле ровно половина дней будет пасмурные, а другая половина – солнечные, то Андрей Степанович и Иван Петрович выпьют за месяц поровну валерьянки.

   Решение

Двое играющих по очереди красят стороны n-угольника. Первый может покрасить сторону, которая граничит с нулём или двумя покрашенными сторонами, второй – сторону, которая граничит с одной покрашенной стороной. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. При каких n второй может выиграть, как бы ни играл первый?

   Решение

На бесконечной ленте выписаны в ряд числа. Первой идёт единица, а каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением к нему наименьшей ненулевой цифры его десятичной записи. Сколько знаков в десятичной записи числа, стоящего в этом ряду на 9·1000¹⁰⁰⁰-м месте?

   Решение

Кузнечик умеет прыгать только ровно на 50 см. Он хочет обойти 8 точек, отмеченных на рисунке (сторона клетки равна 10 см). Какое наименьшее количество прыжков ему придётся сделать? (Разрешается посещать и другие точки плоскости, в том числе не узлы сетки. Начинать и заканчивать можно в любых точках.)

   Решение

Двое играют в следующую игру: первый выписывает в ряд по своему желанию буквы А или Б (слева направо, одну за другой; по одной букве за ход), а второй после каждого хода первого меняет местами любые две из выписанных букв или ничего не меняет (это тоже считается ходом). После того, как оба игрока сделают по 1999 ходов, игра заканчивается. Может ли второй играть так, чтобы при любых действиях первого игрока в результате получился палиндром (то есть слово, которое читается одинаково слева направо и справа налево)?

   Решение

Может ли среднее арифметическое 35 целых чисел равняться 6,35?

   Решение

Разбойники Хапок и Глазок делят кучу из 100 монет. Хапок захватывает из кучи пригоршню монет, а Глазок, глядя на пригоршню, решает, кому из двоих она достается. Так продолжается, пока кто-то из них не получит девять пригоршней, после чего другой забирает все оставшиеся монеты (дележ может закончиться и тем, что монеты будут разделены прежде, чем кто-то получит девять пригоршней). Хапок может захватить в пригоршню сколько угодно монет. Какое наибольшее число монет он может гарантировать себе независимо от действий Глазка?

   Решение

На клетчатой бумаге проведена диагональ прямоугольника 1×4.
Покажите, как, пользуясь только линейкой без делений, разделить этот отрезок на три равные части.

   Решение

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором  ∠DAB = 90°.  Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что  ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что  ∠ADB = ∠CAM.

   Решение

а) На доске выписаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. После семи таких операций на доске будет только одно число. Может ли оно равняться 97?
б) На доске выписаны числа 1, 2¹, 2², 2³, ..., 2¹⁰. Разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. После нескольких таких операций на доске будет только одно число. Чему оно может быть равно?

   Решение

а) В таблицу 2×n (где  n > 2)  вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Докажите, что можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны.
б) В таблицу 100×100 вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Всегда ли можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны?

   Решение

Разрежьте данный квадрат по сторонам клеток на четыре части так, чтобы все части были одинакового размера и одинаковой формы и чтобы каждая часть содержала по одному кружку и по одной звёздочке.

   Решение

Для каждой пары действительных чисел a и b рассмотрим последовательность чисел p_n = [2{an + b}]. Любые k подряд идущих членов этой последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длины k будет словом последовательности, заданной некоторыми a и b при k = 4; при k = 5?

Примечание: [c] - целая часть, {c} - дробная часть числа c.

   Решение

Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Последовательности (прочее) ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Для каждой пары действительных чисел a и b рассмотрим последовательность чисел p_n = [2{an + b}]. Любые k подряд идущих членов этой последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длины k будет словом последовательности, заданной некоторыми a и b при k = 4; при k = 5?

Примечание: [c] - целая часть, {c} - дробная часть числа c.

Решение

Будем изображать числа точками на окружности единичной длины (числам с одинаковой дробной частью соответствует одна и та же точка окружности, см. комментарий к решению задачи 6 для 10 класса олимпиады 1997 г.). Тогда последовательности x_n = {an + b} соответствует последовательность точек на окружности, получаемых из {b} n-кратным поворотом на дугу {a}. При этом p_n = [2x_n].

Нетрудно видеть, что если x_n [0;), т. е. точка x_n лежит на верхней полуокружности, то p_n = 0; если x_n лежит на нижней полуокружности, то p_n = 1.

а) Построим последовательности p_n, в которых встречаются все слова длины 4, начинающиеся с нуля. Таких слов восемь. Остальные восемь слов можно получить заменой (a, b) на (a, b + ). Действительно, при такой замене точки x_n заменятся на диаметрально противоположные, так что p_n заменится на 1 - p_n.

Примеры: Рассмотрим a и b, при которых последовательность x_n образует правильные фигуры (см. таблицу).

б) Докажем, что слово 00010 не реализуется ни при каких a и b. Пусть это слово реализуется. Рассмотрим три подряд идущих члена последовательности x_n, x_{n + 1} и x_{n + 2}.

Если точки x_n и x_{n + 2} диаметрально противоположные, то следующая точка получается из предыдущей поворотом на 90^o, и очевидно, что в последовательности p_n не могут встретиться три нуля подряд.

Если точки x_n и x_{n + 2} не диаметрально противоположные, то они делят окружность на две различные дуги. Возможны две ситуации: x_{n + 1} лежит на большей дуге (как на рис.  , а), и x_{n + 1} лежит на меньшей дуге (как на рис.  , б).

Пусть x_{n + 1} лежит на большей дуге, тогда любые другие точки x_m, x_{m + 1} и x_{m + 2} расположены так же, так как они получаются из точек x_n, x_{n + 1} и x_{n + 2} поворотом на один и тот же угол. Но тогда три такие точки не могут оказаться на верхней полуокружности, а значит, в последовательности p_n слово 000 не встретится - противоречие.

Пусть x_{n + 1} лежит на меньшей дуге . Тогда любые точки x_m, x_{m + 1} и x_{m + 2} расположены так же, поэтому если x_m и x_{m + 2} лежат на верхней полуокружности, то и точка x_{m + 1} лежит там же, а значит, в последовательности p_n не встретится слово 010.

Итак, мы разобрали все варианты, и доказали, что слово 00010 не может встретиться.

Комментарий. Если разбить p_n на куски, состоящие только из нулей или только из единиц (причем за куском из нулей идет кусок из единиц, а за куском из единиц - кусок из нулей), то длины любых двух таких кусков будут отличаться не больше, чем на 1. Эта задача относится к символической динамике, о чем рассказано в статье [#!Smale-horseshoe!#].

Источники и прецеденты использования