ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108026
Темы:    [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Площадь четырехугольника ]
[ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из вершины A квадрата ABCD со стороной 1 проведены два луча, пересекающие квадрат так, что вершина C лежит между лучами. Угол между лучами равен β. Из вершин B и D проведены перпендикуляры к лучам. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров.


Решение 1

Искомая площадь – разность площадей двух треугольников с углом β при вершине A. Стороны этих треугольников легко выражаются через углы β1 и β2, образованные лучами со сторонами квадрата (см. рис.). Поэтому  S = ½ cos β1 cos β2 sin β – ½ sin β1 sin β2 sin β = ½ cos (β1 + β2) sin β = ½ sin²β.


Решение 2

  Пусть F и G – основания перпендикуляров, опущенных из B и D на луч l1 (ближний к B), H и E – основания перпендикуляров, опущенных из B и D на луч l2. Точки F и H лежат на окружности с диаметром AB, поэтому  FH = sin β.  Аналогично  EG = sin β.
  ∠BHF = ∠BAF = ∠ADG = ∠AEG.  Стороны HB и EA равных углов BHF и AEG перпендикулярны, значит, стороны HF и EG также перпендикулярны. Осталось применить к четырёхугольнику FEHG формулу, выражающую площадь через длины диагоналей и угол между ними (задача 54962).


Ответ

½ sin²β.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4306
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 9
Дата 1987/1988
вариант
Вариант осенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .