Задача 108041

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Савин А.П.

Если повернуть квадрат вокруг его центра на 45°, то стороны повёрнутого квадрата разобьют каждую сторону первоначального отрезка на три отрезка, длины которых относятся как  a : b : a  (эти отношения легко вычислить). Для произвольного выпуклого четырёхугольника сделаем аналогичное построение: разобьём каждую его сторону в тех же отношениях  a : b : a  и проведём прямую через каждые две точки деления, соседние с вершиной (лежащие на сходящейся к ней стороне). Докажите, что площадь четырёхугольника, ограниченного четырьмя построенными прямыми, равна площади исходного четырёхугольника.

Решение

  Очевидно,  a : b = 1 : .
   Рассмотрим теперь произвольный выпуклый четырёхугольник ABCD (см. рисунок).

  Заметим, что стороны второго четырёхугольника параллельны диагоналям четырёхугольника ABCD, так как каждая из них делит стороны данного четырёхугольника в одинаковых отношениях. Пусть точки P и Q лежат на стороне AB, причём  AP : PQ : QB = 1 : : 1.  Пусть также прямая l₁, проходящая через точку P параллельно диагонали BD, пересекает диагональ AC в точке S, прямая l₂, проходящая через точку Q параллельно AC, пересекает диагональ BD в точке T, а прямые l₁ и l₂ пересекаются в точке R. Поскольку треугольники APS и QPR подобны с коэффициентом  ,  то площадь первого равна половине площади второго. Точно так же докажем, что площадь треугольника BQT вдвое меньше площади треугольника QPR. Значит,
S_PQR = S_APS + S_BQT.  Аналогично получаем, что сумма площадей четырёх добавленных треугольников равна сумме площадей четырёх отсечённых, что и требовалось.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4321
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1989/1990
Номер	11
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1990
выпуск
Номер	6
Задача
Номер	М1226