|
|
 |
Условие
Внутри угла расположены две окружности с центрами A и B. Они касаются друг друга и двух сторон угла.
Докажите, что окружность с диаметром AB касается сторон угла.
Подсказка
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Решение
Пусть окружность радиуса r с центром A касается стороны угла в
точке A1, окружность радиуса R с центром B касается той же стороны угла в точке B1, а O1 – проекция центра O окружности с диаметром AB на эту сторону. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
AB = r + R. Значит, радиус окружности с диаметром AB равен ½ (R + r). С другой стороны, отрезок OO1 – средняя линия прямоугольной трапеции AA1B1B. Поэтому OO1 = ½ (AA1 + BB1) = ½ (R + r) = ½ AB. Следовательно, окружность с диаметром AB касается стороны угла.
Замечания
3 балла
