Задача 108068

Темы:    [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Маркелов С.В.

Известно, что вершины квадрата T принадлежат прямым, содержащим стороны квадрата P, а вписанная окружность квадрата T совпадает с описанной окружностью квадрата P. Найдите углы восьмиугольника, образованного вершинами квадрата P и точками касания окружности со сторонами квадрата T, и величины дуг, на которые вершины восьмиугольника делят окружность.

Решение

  Введём обозначения так, как показано на рисунке.

  Угол P₁M₂P₂ восьмиугольника опирается на дугу, равную 270°. Значит, он равен 135°. При повороте на угол 90° вокруг центра окружности вся фигура переходит в себя, поэтому меньшие дуги P₄M₁ и P₁M₂ равны. Следовательно,  ∠M₁P₁M₂ = 90° + ∠M₁P₁T₄ + ∠M₂P₁P₂ = 90° + 45° = 135°.
  Поскольку M₁P₁ – медиана прямоугольного треугольника T₁P₁T₂, то  M₁P₁ = ½ T₁T₂,  то есть хорда M₁P₁ равна радиусу окружности. Значит, меньшая дуга M₁P₁ равна 60°, а меньшая дуга P₁M₂ равна  l90° – 60° = 30°.

Ответ

Углы восьмиугольника равны 135°, дуги равны 30° и 60°.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4348
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	16
Дата	1994/1995
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	3