Задача 108074

Темы:    [ Неравенства для углов треугольника ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

Наибольший угол остроугольного треугольника в пять раз больше наименьшего.
Найдите углы этого треугольника, если известно, что все они выражаются целым числом градусов.

Решение

Пусть  α ≥ β ≥ γ  – углы треугольника, причём  α = 5γ < 90°.  Тогда  180° = α + β + γ ≤ 5γ + 5γ + γ = 11γ.  Поэтому  180° : 11 = 16⁴/₁₁° ≤ γ < 90° : 5 = 18°,  а так как γ выражается целым числом градусов, то   γ = 17°.

Ответ

17°, 78°, 85°.

Замечания

2 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4354
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1995/1996
Номер	17
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	1