Задача 108077

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Частные случаи треугольников (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

Точка P лежит внутри равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC ),  причём  ∠ABC = 80°,  ∠PAC = 40°,  ∠ACP = 30°.  Найдите угол BPC.

Решение 1

Пусть Q – точка пересечения отрезка CP с высотой BH данного равнобедренного треугольника, опущенной на основание.

Тогда  ∠QAC = ∠ACQ = 30°,  ∠BAQ = 20°,  ∠BAP = 10° = ½ ∠BAQ.  Значит, AP – биссектриса угла BAQ. По теореме о внешнем угле треугольника
∠AQP = ∠ACQ + ∠CAQ = 60°,  ∠AQB = ∠QAC + ∠AHQ = 120°.  Поэтому QP – биссектриса угла AQB. Таким образом, P – точка пересечения биссектрис треугольника ABQ. Следовательно,  ∠BPC = ∠BPQ = 90° + ½ ∠BAQ = 90° + 10° = 100°.

Решение 2

Построим равносторонний треугольник ABD (см. рис.). Тогда  BD = BC,  то есть треугольник CBD – равнобедренный и
∠BDC = ∠BCD = (180° – 80° – 60°) : 2 = 20°.  Значит, точка P лежит на отрезке CD.

∠PAD = 70°,  ∠ADP = 40°,  поэтому  ∠DPA = 70°,  и треугольник ADP – равнобедренный. Значит, треугольник BDP – тоже равнобедренный,
∠BPD = (180° – 20°) : 2 = 80°,  а  ∠BPC = 100°.

Ответ

100°.

Замечания

1. Еще одно решение см. в решениях Задачника "Кванта".

2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4357
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1997
выпуск
Номер	3
Задача
Номер	М1595
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	18
Дата	1996/1997
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	6