ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108077
Темы:    [ Углы между биссектрисами ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Частные случаи треугольников (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка P лежит внутри равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC ),  причём  ∠ABC = 80°,  ∠PAC = 40°,  ∠ACP = 30°.  Найдите угол BPC.


Решение 1

Пусть Q – точка пересечения отрезка CP с высотой BH данного равнобедренного треугольника, опущенной на основание.

Тогда  ∠QAC = ∠ACQ = 30°,  ∠BAQ = 20°,  ∠BAP = 10° = ½ ∠BAQ.  Значит, AP – биссектриса угла BAQ. По теореме о внешнем угле треугольника
AQP = ∠ACQ + ∠CAQ = 60°,  ∠AQB = ∠QAC + ∠AHQ = 120°.  Поэтому QP – биссектриса угла AQB. Таким образом, P – точка пересечения биссектрис треугольника ABQ. Следовательно,  ∠BPC = ∠BPQ = 90° + ½ ∠BAQ = 90° + 10° = 100°.


Решение 2

Построим равносторонний треугольник ABD (см. рис.). Тогда  BD = BC,  то есть треугольник CBD – равнобедренный и
BDC = ∠BCD = (180° – 80° – 60°) : 2 = 20°.  Значит, точка P лежит на отрезке CD.

PAD = 70°,  ∠ADP = 40°,  поэтому  ∠DPA = 70°,  и треугольник ADP – равнобедренный. Значит, треугольник BDP – тоже равнобедренный,
BPD = (180° – 20°) : 2 = 80°,  а  ∠BPC = 100°.


Ответ

100°.

Замечания

1. Еще одно решение см. в решениях Задачника "Кванта".

2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4357
журнал
Название "Квант"
год
Год 1997
выпуск
Номер 3
Задача
Номер М1595
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 18
Дата 1996/1997
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .