Условие
Пусть M – середина стороны BC треугольника ABC. Постройте прямую l, удовлетворяющую следующим условиям: l || BC, l пересекает треугольник ABC; отрезок прямой l, заключённый внутри треугольника, виден из точки M под прямым углом.
Решение 1
Проведём биссектрисы MK и ML углов AMB и AMC (см. рис.) Угол KML – прямой, так как он равен полусумме углов AMB и AMC, составляющих развёрнутый угол. По свойству биссектрисы BK : AK = MB : MA = MC : MA = CL : AL. По обратной теореме Фалеса прямые KL и BC параллельны.
Очевидно, что решение единственно.
Решение 2
Построим на основании BC как на диаметре полуокружность (см. рис.) и продолжим медиану AM до пересечения с этой полуокружностью в точке N. Проведём через точку M прямые, параллельные NB и NC до пересечения со сторонами соответственно AB и AC треугольника ABC в точках K и L.
Треугольник KLM получен из треугольника BCN гомотетией с центром в точке A (и коэффициентом AM : AN), поэтому ∠KML = ∠BNC и KL || BC.
Замечания
3 балла
