Задача 108085

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Перенос помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Кожевников П.А.

Отрезок AB пересекает две равные окружности и параллелен их линии центров, причём все точки пересечения прямой AB с окружностями лежат между A и B. Через точку A проводятся касательные к окружности, ближайшей к A, через точку B – касательные к окружности, ближайшей к B. Оказалось, что эти четыре касательные образуют четырёхугольник, содержащий внутри себя обе окружности. Докажите, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Решение 1

  Пусть касательные образуют четырёхугольник ACBD. Обозначим через O₁ и O₂ центры окружностей.
  Сдвинем правую часть картинки влево параллельно линии центров на расстояние O₁O₂. При этом окружности совпадут, а касательные, проведённые из точки B, перейдут в касательные, проведённые из точки B', лежащей на прямой AB (рис. слева).
  Гомотетия с центром A и коэффициентом  AD : AB'  переводит точку B', в B, а прямую B'K – в параллельную ей прямую BD. Аналогично она переводит прямую B'L в BC. Поскольку прямые AD и AC переходят в себя, четырёхугольник AKB'L перейдёт в исходный четырёхугольник ADBC. Но четырёхугольник AKB'L описанный. Значит, и четырёхугольник ADBC описанный.

           

Решение 2

  Обозначим через r радиус окружностей, через O – точку пересечения прямых AO₁ и BO₂ (рис. справа), а через d – расстояние от точек O₁ и O₂ до прямой AB. Прямая AO₁ (BO₂) – часть геометрического места точек, отношение расстояний от которых до прямых AC (BC) и AB равно  r : d.  Поэтому общая точка O прямых AO₁ и BO₂ равноудалена от прямых AC и BC. Кроме того, она равноудалена от сторон AC и AD (поскольку лежит на биссектрисе AO₁ угла CAD) и от сторон BC и BD (по аналогичной причине). Значит, O равноудалена от всех сторон четырёхугольника ACBD, то есть является центром вписанной в него окружности.

Замечания

1. В решении 2 случай, когда прямая AB совпадает с линией центров, следует разобрать отдельно.

2. 8-9 кл. – 5 баллов, 10-11 кл. – 4 балла.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4365
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1998/1999
Номер	20
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1998/1999
Номер	20
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	3