Задача 108096

Темы:    [ ГМТ с ненулевой площадью ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

Точки A и B, лежащие на окружности разбивают её на две дуги. Найдите геометрическое место середин всевозможных хорд, концы которых лежат на разных дугах AB.

Решение

Пусть K – произвольная точка внутри данной окружности. Хорда, серединой которой является K, перпендикулярна OK. Поэтому она пересекает отрезок AB тогда и только тогда, когда один из углов OKA, OKB не острый, а другой – не тупой (см. рис. слева). Следовательно, искомое множество состоит из точек, лежащих внутри или на границе одного из кругов с диаметрами OA, OB и вне или на границе другого (рис. справа).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6216
олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
класс
Класс	9
Задача
Номер	3
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	59
Год	1996
вариант
Класс	9
задача
Номер	5