ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108104
Темы:    [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть la , lb и lc – длины биссектрис углов A , B и C треугольника ABC , а ma , mb и mc – длины соответствующих медиан. Докажите, что

+ + >1


Подсказка

Пусть a$ \le$b$ \le$c — стороны треугольника ABC. Тогда $ {\frac{l_{a}}{m_{a}}}$ + $ {\frac{l_{b}}{m_{b}}}$ + $ {\frac{l_{c}}{m_{c}}}$ > $ {\frac{l_{a}}{m_{a}}}$ + $ {\frac{l_{b}}{m_{b}}}$.


Решение

Докажем сначала следующее утверждение. Если точка M лежит на стороне YZ треугольника XYZ и не совпадает с вершиной треугольника, то отрезок XM меньше, чем наибольшая из сторон XY и XZ (рис.1). Действительно, один из углов XMY и XMZ не меньше 90o . Пусть это угол XMZ . Тогда в треугольнике XMZ против этого угла лежит наибольшая сторона, т.е. сторона XZ . Таким образом, отрезок XM меньше одной из сторон XY и XZ . Значит, он меньше наибольшей из этих сторон. Утверждение доказано. Пусть a , b и c – стороны соответственно BC , AC и AB треугольника ABC ( a b c ); la , lb , lc – биссектрисы треугольника, проведённые из соответствующих вешин; ma , mb , ma – соответствующие медианы; I – точка пересечения биссектрис углов A и B (рис.2). Тогда по доказанному ma и mb. Кроме того, для треугольника AIB верно неравенство AI+BI>AB = c . Следовательно,

+ + > + > + = > > = 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6454
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 67
Год 2004
вариант
Класс 9
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .