|
|
 |
Условие
Пусть $l_a$, $l_b$ и $l_c$ – длины биссектрис углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$, а $m_a$, $m_b$ и $m_c$ – длины соответствующих медиан. Докажите, что $$ \frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} +\frac{l_c}{m_c} > 1.$$Подсказка
Пусть $a \le b \le c$ — стороны треугольника $ABC$.
Тогда $\frac{l_{a}}{m_{a}} + \frac{l_{b}}{m_{b}} + \frac{l_{c}}{m_{c}} >
\frac{l_{a}}{m_{a}} + \frac{l_{b}}{m_{b}}.$
Решение
Докажем сначала следующее утверждение. Если точка $M$ лежит на стороне $YZ$ треугольника $XYZ$ и не совпадает с вершиной треугольника, то отрезок $XM$ меньше, чем наибольшая из сторон $XY$ и $XZ$.
Пусть $a$, $b$ и $c$ – стороны соответственно $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ ($a \le b \le c$); $l_a$, $l_b$, $l_c$ – биссектрисы треугольника, проведённые из соответствующих вершин; $m_a$, $m_b$, $m_c$ – соответствующие медианы; $I$ – точка пересечения биссектрис углов $A$ и $B$.
Замечания
Данная задача — один из примеров преимущества метода «инженерной прикидки» перед методом «грубой силы». Попытки решить задачу с помощью формул, выражающих длины биссектрис и медиан через стороны треугольника, заводят в тупик (не удалось это сделать и автору задачи, даже с помощью компьютера). В то же время метод «сели и подумали» даёт короткое решение, из которого ясно, что биссектрисы и медианы ни при чём — неравенство верно для произвольных отрезков, соединяющих вершину треугольника и какую-то точку на противоположной стороне. (Подумайте, можно ли в условии задачи заменить биссектрисы на высоты.)Отметим, что оценка точная, т. е. число 1 в правой части нельзя заменить на большее так, чтобы неравенство осталось верным для всех треугольников (докажите это!), т. е. данная задача является примером симметричного неравенства, в котором оценка точная, но не достигается ни в каком треугольнике. На первый взгляд, это кажется невозможным — рассмотрим треугольник, у которого $\frac{l_a}{m_a}+\frac{l_b}{m_b}+\frac{l_c}{m_c} < 1{,}1$, потом такой, у которого эта сумма меньше, чем $1{,}01$, потом $1{,}001$ и т. д. Посмотрим, к какому треугольнику они будут «стремиться» — для этого треугольника искомая сумма должна быть равна 1 (а чему ещё она, казалось бы, может быть равна?). Подумайте, почему это нестрогое рассуждение (часто приводящее в верному результату) в данному случае неверно.
Бытует мнение, что любое верное симметричное неравенство можно доказать многократным применением неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом и аналогичных. Наша задача является контрпримером к этому утверждению, поскольку в классических неравенствах о средних равенство достигается, когда все слагаемые равны между собой. В данной же задаче, если $\frac{l_a}{m_a}=\frac{l_b}{m_b}=\frac{l_c}{m_c}$, то $\frac{l_a}{m_a}+\frac{l_b}{m_b}+\frac{l_c}{m_c}=3$, что далеко от точной оценки 1.
