Информация о задаче

Задача 108104

Темы:	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Канель-Белов А.Я.

Пусть l_a , l_b и l_c – длины биссектрис углов A , B и C треугольника ABC , а m_a , m_b и m_c – длины соответствующих медиан. Докажите, что

+ + >1

Подсказка

Пусть a $\le$ b $\le$ c — стороны треугольника ABC. Тогда ${\frac{l_{a}}{m_{a}}}$ + ${\frac{l_{b}}{m_{b}}}$ + ${\frac{l_{c}}{m_{c}}}$ > ${\frac{l_{a}}{m_{a}}}$ + ${\frac{l_{b}}{m_{b}}}$ .

Решение

Докажем сначала следующее утверждение. Если точка M лежит на стороне YZ треугольника XYZ и не совпадает с вершиной треугольника, то отрезок XM меньше, чем наибольшая из сторон XY и XZ (рис.1). Действительно, один из углов XMY и XMZ не меньше 90^o . Пусть это угол XMZ . Тогда в треугольнике XMZ против этого угла лежит наибольшая сторона, т.е. сторона XZ . Таким образом, отрезок XM меньше одной из сторон XY и XZ . Значит, он меньше наибольшей из этих сторон. Утверждение доказано. Пусть a , b и c – стороны соответственно BC , AC и AB треугольника ABC ( a b c ); l_a , l_b , l_c – биссектрисы треугольника, проведённые из соответствующих вешин; m_a , m_b , m_a – соответствующие медианы; I – точка пересечения биссектрис углов A и B (рис.2). Тогда по доказанному m_a и m_b. Кроме того, для треугольника AIB верно неравенство AI+BI>AB = c . Следовательно,

+ + > + > + = > > = 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина

URL http://zadachi.mccme.ru

задача

Номер 6454

олимпиада

Название Московская математическая олимпиада

год

Номер 67

Год 2004

вариант

Класс 9

задача

Номер 4