Докажите, что из произвольного множества трёхзначных чисел, включающего не менее четырёх чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбрать четыре числа, также взаимно простых в совокупности.

   Решение

а) В городе Мехико для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжать на улицы города. Семье требуется каждый день иметь в распоряжении не менее десяти машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтись семья, если её члены могут сами выбирать запрещенные дни для своих автомобилей?

б) В Мехико для каждой частной автомашины устанавливается один день в неделю, в который она не может выезжать на улицы города. Состоятельная семья из десяти человек подкупила полицию, и для каждой машины они называют два дня, один из которых полиция выбирает в качестве невыездного дня. Какое наименьшее количество машин нужно купить семье, чтобы каждый день каждый член семьи мог самостоятельно ездить, если утверждение невыездных дней для автомобилей идёт последовательно?

   Решение

Дан куб со стороной 4. Можно ли целиком оклеить три его грани, имеющие общую вершину, 16 бумажными прямоугольными полосками размером 1×3?

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC через центр O описанной окружности и вершины B и C проведена окружность S. Пусть OK – диаметр окружности S, D и E – соответственно точки её пересечения с прямыми AB и AC. Докажите, что ADKE – параллелограмм.

   Решение

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC через центр O описанной окружности и вершины B и C проведена окружность S. Пусть OK – диаметр окружности S, D и E – соответственно точки её пересечения с прямыми AB и AC. Докажите, что ADKE – параллелограмм.

Подсказка

Докажите, что ∠AEK = 180° – ∠A.

Решение

  Без ограничения общности рассмотрим случай, когда точка D лежит на стороне AB, а точка E – на продолжении стороны AC за точку C (см. рис.). Обозначим  ∠A = α.  Тогда  ∠BOC = 2α,  ∠OBC = ∠OCB = 90° – α.
  Поскольку точка E лежит на окружности с диаметром OK, то  ∠OEK = 90°,  а так как вписанные в окружность S углы OEC и OBC опираются на одну дугу, то  ∠OEC = ∠OBC = 90° – α.  Поэтому  ∠AEK = 90° + 90° – α = 180° – α.  Значит,  AD || KE.  Аналогично,  AE || DK.  Следовательно, ADKE – параллелограмм.

Источники и прецеденты использования