Задача 108126

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Признаки подобия ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Пусть описанные окружности S₁ и S₂ треугольников ABO и CDO второй раз пересекаются в точке K. Прямые, проходящие через точку O параллельно прямым AB и CD, вторично пересекают S₁ и S₂ в точках L и M соответственно. На отрезках OL и OM выбраны соответственно точки P и Q, причём  OP : PL = MQ : QO.  Докажите, что точки O, K, P, Q лежат на одной окружности.

Решение

Не умаляя общности, можно считать, что  ∠ABO ≥ ∠BAO,  тогда ABOL и DCOM – равнобедренные трапеции. Из теоремы о вписанных углах следует, что
∠LOA = ∠OAB = ∠ODC = ∠DOM = ∠DCM = ∠CMO,  а так как  ∠KMC = 180° – ∠KOC = ∠KOA,  то  ∠KMO = ∠KOL.  Аналогично  ∠KLO = ∠KOM.  Значит, треугольники KOM и KLO подобны по двум углам. Но тогда подобны и треугольники KOP и KMQ  (OP : PL = MQ : QO  по условию). Поэтому  ∠KPO = ∠KQM,  и четырёхугольник KPOQ – вписанный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6476
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2003
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	03.5.11.2
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2003
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	03.5.10.2