ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108170
Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Формулы для площади треугольника ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB , BC и AC треугольника ABC взяты точки C' , A' и B' соответственно. Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна

,

где R – радиус описанной окружности треугольника ABC .

Решение

Поскольку SΔ ABC= , достаточно доказать, что

= .

Обозначим
= x, = y, = z.

Тогда
=· = x(1-y), =· = y(1-z),


=· =z(1-x).

Поэтому
SΔ A'B'C' = (1- x(1-y) - y(1-z)- z(1-x))SΔ ABC=


=(xyz+(1-x)(1-y)(1-z))SΔ ABC=


=(AB'· BC'· CA' + AC'· CB'· BA')SΔ ABC.

Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6517
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 60
Год 1997
вариант
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .