Задача 108197

Темы:    [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC провели биссектрисы углов A и C. Точки P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне AC.

Подсказка

Продолжите указанные перпендикуляры до пересечения с прямой AC.

Решение

Пусть точка P лежит на биссектрисе угла A, а точка Q – на биссектрисе угла C. Рассмотрим точки P₁ и Q₁, симметричные B относительно биссектрис углов A и C. Так как биссектриса – ось симметрии угла, то они лежат на AC. При этом P – середина BP₁, а Q – середина BQ₁. Следовательно, PQ – средняя линия треугольника P₁BQ₁, поэтому   PQ || P₁Q₁ || AC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2006
класс
Класс	8
задача
Номер	4
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	57
Год	1994
вариант
Класс	8
задача
Номер	3
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6544