ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108197
Темы:    [ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC провели биссектрисы углов A и C. Точки P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне AC.


Подсказка

Продолжите указанные перпендикуляры до пересечения с прямой AC.


Решение

Пусть точка P лежит на биссектрисе угла A, а точка Q – на биссектрисе угла C. Рассмотрим точки P1 и Q1, симметричные B относительно биссектрис углов A и C. Так как биссектриса – ось симметрии угла, то они лежат на AC. При этом P – середина BP1, а Q – середина BQ1. Следовательно, PQ – средняя линия треугольника P1BQ1, поэтому   PQ || P1Q1 || AC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата 2006
класс
Класс 8
задача
Номер 4
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 57
Год 1994
вариант
Класс 8
задача
Номер 3
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6544

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .