На плоскости расположено [ n] прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник пересекается хотя бы с n прямоугольниками. Доказать, что найдется прямоугольник, пересекающийся со всеми прямоугольниками.

   Решение

В блицтурнире принимали участие  2n + 3  шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились одна за другой, и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее n игр. Докажите, что один из шахматистов, игравших в первой партии, играл и в последней.

   Решение

Известно, что многочлен  (x + 1)ⁿ – 1  делится на некоторый многочлен  P(x) = x^k + c_k–1x^k–1 + c_k–2x^k–2 + ... + c₁x + c₀  чётной степени k, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что n делится на  k + 1.

   Решение

Имеется 8 монет, 7 из которых – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?

   Решение

Треугольник T содержится внутри выпуклого центрально-симметричного многоугольника M . Треугольник T' получается из треугольника T центральной симметрией относительно некоторой точки P , лежащей внутри треугольника T . Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит внутри или на границе многоугольника M .

   Решение

Существует ли такое натуральное число, что произведение всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) оканчивается ровно на 2001 ноль?

   Решение

В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB перпендикулярна стороне CD, а сторона BC – стороне DE.
Докажите, что если  AB = AE = ED = 1,  то  BC + CD  < 1.

   Решение

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9,10

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB перпендикулярна стороне CD, а сторона BC – стороне DE.
Докажите, что если  AB = AE = ED = 1,  то  BC + CD  < 1.

Решение

  Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке K, а прямые BC и ED – в точке M,  ∠BAE = α,  ∠DEA = β.  На луче BC отложим отрезок  BN = AB = 1.
  Если  α + β = 180°,  то ABDE – параллелограмм. Тогда  DK и BM – его высоты, проведённые к противоположным сторонам. Значит, они не могут пересекаться в точке C. Если  α + β > 180°,  то C и точка P пересечения прямых AB и DE лежат по разные стороны от прямой BD. Точка K лежит на продолжении стороны DC за вершину C, поэтому K и P лежат по разные стороны от прямой BD. Значит, PBM – внешний угол прямоугольного треугольника BKC. Следовательно,  ∠PBM > 90°.  С другой стороны, поскольку PBM – острый угол прямоугольного треугольника PBM, то ∠PBM  < 90°,  что невозможно.
  Таким образом,  α + β < 180°.  Тогда один из углов α и β (пусть α) меньше 90°. Сумма углов четырёхугольника ABME равна 360°, поэтому
∠ABM = 360° – 90° – α – β = 270° – α – β.
  Из равнобедренных треугольников ABN и ADE   ∠ BAN = ½ (180° – ∠ABN) = ½ (180° – ∠ABM) = ½ (α + β – 90°),  ∠DAE = ½ (180° – ∠DEA) = ½ (180° – β).
  Следовательно,  ∠BAN + ∠DAE = ½ (90° + α) > α = ∠BAE.
  Это значит, что точка D лежит внутри треугольника ABN. Пусть прямые CD и AN пересекаются в точке S. В треугольнике CNS угол CNS – острый (как угол при основании равнобедренного треугольника ABN ), а угол NSC – тупой (как внешний угол прямоугольного треугольника AKS). Значит,  CS < CN.  Поэтому  BC + CD < BC + CS < BC + CN = BN = 1.

Источники и прецеденты использования