Поверхность выпуклого многогранника A₁B₁C₁A₂B₂C₂ состоит из восьми треугольных граней A_iB_jC_k, где i, j, k меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке O касается всех этих граней. Докажите, что точка O и середины трёх отрезков A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ лежат в одной плоскости.

   Решение

У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две чёрные грани не имеют общего ребра. Докажите, что если а) чёрных граней больше половины; б) сумма площадей чёрных граней больше суммы площадей белых граней, то в этот многогранник нельзя вписать шар.

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Доказательство от противного ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC с попарно различными сторонами. На его сторонах построены внешним образом правильные треугольники ABC₁, BCA₁ и CAB₁. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ не может быть правильным.

Решение

  Предположим, что треугольник A₁B₁C₁ – правильный.
  Если точка A лежит на отрезке B₁C₁, то из равенства  ∠C₁B₁A₁ = ∠AB₁C = 60°  следует, что C лежит на B₁A₁. При этом
∠BAC = 180° – ∠BAC₁ – ∠CAB₁ = 60°.  Аналогично,  ∠ACB = 60°.  Следовательно, треугольник ABC – правильный, что противоречит условию. Значит, точка A не лежит на B₁C₁.
  Рассмотрим треугольники A₁BC₁, B₁CA₁ и C₁AB₁. Назовём один из них внешним, если он пересекается с треугольником ABC только по соответствующей вершине (так, на левом рисунке внешними являются треугольники A₁BC₁ и C₁AB₁, а на правом – треугольник A₁BC₁); иначе назовём его внутренним.

           

  Тогда к одной из вершин A₁, B₁, C₁ прилегают либо два внешних треугольника (рис. слева), либо два внутренних (рис. справа). В первом случае соответствующий угол треугольника A₁B₁C₁ больше 60°, во втором – меньше. Противоречие.

Источники и прецеденты использования