Условие
Дан правильный треугольник
ABC . Через вершину
B
проводится произвольная прямая
l , а через точки
A
и
C проводятся прямые, перпендикулярные прямой
l ,
пересекающие её в точках
D и
E . Затем, если точки
D и
E различны, строятся правильные треугольники
DEP и
DET , лежащие по разные стороны от прямой
l .
Найдите геометрическое место точек
P и
T .
Решение
Возможны несколько случаев расположения прямой (см.рис.1-3).
Рассмотрим случай, изображённый на рис.1, остальные случаи
рассматриваются аналогично.
Пусть
N – середина стороны
AC . Тогда
BN – высота
треугольника
ABC . Из точек
N и
D отрезок
AB виден под
прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром
AB . Вписанные в эту окружность углы
BDN и
BAN опираются
на одну и ту же дугу, поэтому
EDN = BDN = BAN = 60o.
Аналогично докажем, что
DEN = 60
o .
Следовательно, треугольник
DNE правильный, какова бы ни была
прямая
l , не пересекающая отрезок
AC . Итак, вершина
T
одного из рассматриваемых треугольников находится в середине
N
отрезка
AC . Вершина
P другого правильного треугольника
симметрична фиксированной точке
T (т.е. точке
N ) относительно
прямой
l , поэтому
BP=BN , и точка
P лежит на окружности
с центром
B и радиусом
BN .
Покажем теперь, что любая точка
P этой окружности, отличная от
N ,
будет вершиной правильного треугольника
DEP при некотором выборе
прямой
l . Для этого соединим точки
P и
N и через середину
отрезка
NP проведём прямую, перпендикулярную
NP . Она пройдёт через
точку
B , т.к. серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр
окружности. Основания
D и
E перпендикуляров, опущенных из точек
A
и
C на построенную прямую
l , являются вершинами правильных треугольников
DEP и
DEN .
Ответ
Окружность с центром в точке
B и радиусом, равным высоте
треугольника
ABC .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6580 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
1993 |
|
Этап |
|
Вариант |
4 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
93.4.11.7 |
