Задача 108242
|
|
 |
Условие
На плоскости дана окружность ω, точка A, лежащая внутри ω, и точка B, отличная от A. Рассматриваются всевозможные хорды XY, проходящие через точку A. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников BXY лежат на одной прямой.
Решение
Произведение AX·AY не зависит от положения хорды XY и равно некоторой постоянной величине d. На продолжении отрезка AB за точку A выберем такую точку C, что AC = d/AB. Тогда AB·AC = d = AX·AY. Значит, точки X, B, Y и C лежат на одной окружности, то есть описанная окружность треугольников BXY проходят через фиксированные точки B и C. Следовательно, её центр лежит на серединном перпендикуляре к фиксированному отрезку BC.
