|
|
 |
Условие
В выпуклый четырёхугольник ABCD, у которого углы при вершинах B и D – прямые, вписан четырёхугольник с периметром P (его вершины лежат по одной на сторонах четырёхугольника ABCD).
а) Докажите неравенство P ≥ 2BD.
б) В каких случаях это неравенство превращается в равенство?
Решение
а) Пусть вершины E, F, K и L четырёхугольника EFKL лежат на сторонах соответственно AB,BC, CD и AD выпуклого четырёхугольника ABCD. Обозначим через M и N середины отрезков EF и KL соответственно. Тогда BM ≥ ½ EF, DN = ½ KL.
Согласно задаче 57813 а) MN ≤ ½ (EL + FK). Кроме того, BM + MN + ND ≥ BD.
Следовательно, P = EF + KL + (EL + FK) ≥ 2BM + 2DN + 2MN ≥ 2BD.
б) Неравенство MN ≤ ½ (EL + FK) обращается в равенство, если EL || FK || MN, а второе неравенство – в случае, когда точки B, M, N и D лежат на одной прямой. Таким образом, получаем следующий способ построения всех четырёхугольников EFKL, для которых рассматриваемое неравенство превращается в равенство. Пусть O – точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD и AO ≤ OC. Через произвольную точку отрезка AO проведём прямую EL, параллельную BD (точка E лежит на стороне AB, L – на AD). Симметрично отразив прямую EL относительно BD, получим противоположную сторону KF искомого четырёхугольника.
