Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника
продолжены до пересечения с продолжениями сторон.
Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.
Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 222 ореха по двум коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 222. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую третью коробочку и предъявить Чичикову одну или две коробочки, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв.
Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.
|
|
 |
Условие
Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.
Решение
Рассмотрим объединение двух данных треугольников. Оно состоит из шестиугольника пересечения H и шести подобных между собой треугольников (см. рис.; один из углов каждого такого треугольника равен 60°, а два других – α и 120° – α). Если a – сторона такого треугольника, лежащая против угла в 60° (она также является стороной шестиугольника H), а Pa – периметр этого треугольника, то отношение k = a/Pa одно и то же для каждого из шести таких треугольников и не меняется при параллельном переносе. Периметр шестиугольника H равен сумме периметров шести подобных треугольников, умноженной на k. Осталось заметить, что сумма периметров шести подобных треугольников равна сумме периметров двух исходных правильных треугольников.
Замечания
3 балла
