|
|
 |
Условие
Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника
продолжены до пересечения с продолжениями сторон.
Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.
Решение 1
Как известно, треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – прямоугольный. Пусть его вершины A, B и C имеют координаты (4, 0), (0, 3) и (0, 0) соответственно; A2, B2 и C2 – основания биссектрис внешних углов (см. рис.).
A2(0, –12) и B2(–6, 0). Последняя точка является серединой отрезка с концами в точках C2 и A2.
Решение 2
Поместим в вершины A и C массы –3 и 5 соответственно, а вершину B – две массы 4 и –4 (образовав две материальные точки B и B'). Найдём центр масс системы четырёх точек двумя способами.
1) Точки B и B' взаимно уничтожаются, поэтому указанный центр масс совпадёт с точкой B2 – центром масс точек A и C.
2) Центр масс точек A и B – это точка C2, центр масс точек С и B' – точка A2. Поскольку сумма масс каждой пары равна 1, общий центр масс находится в середине отрезка A2C2.
Замечания
1. Прямоугольность треугольника несущественна. Точно так же как в решении 2 доказывается
Теорема. Пусть в треугольнике ABC одна из сторон равна сумме двух других. Тогда одна их точек пересечения биссектрис внешних углов с продолжениями сторон делит пополам отрезок, соединяющий две другие.
2. 3 балла.
