ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108609
Темы:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
[ Полуинварианты ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Колосов В.

На плоскости расположено такое конечное множество точек M, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены друг с другом отрезками так, что из каждой точки выходит не более одного отрезка. Разрешается заменить пару пересекающихся отрезков AB и CD парой противоположных сторон AC и BD четырёхугольника ACBD. В полученной системе отрезков разрешается снова произвести подобную замену, и т. д. Может ли последовательность таких замен быть бесконечной?


Решение

AC + BD < AB + CD  (см. задачу 55162). Это означает, что на каждом шаге сумма длин имеющихся отрезков уменьшается. В то же время, всевозможных систем отрезков указанного вида конечное число (так как число точек конечно). Значит, сумма длин отрезков не может уменьшаться бесконечно долго.


Ответ

Не может.

Замечания

1. 6 баллов.

2. См. также задачу М927 а) из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4295
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1984/1985
Номер 6
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .