Задача 108626

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вспомогательная окружность ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точка H – ортоцентр треугольника ABC , а точки H1 и H2 – её проекции на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине B . Докажите, что прямая H1H2 делит сторону AC пополам.

Решение

Пусть AM и CN – высоты треугольника ABC . Тогда точки M , N , A и C лежат на окружности, центр P которой – середина AC . Значит, точка P равноудалена от концов отрезка MN . С другой стороны, поскольку биссектрисы внешних углов перпендикулярны, четырёхугольник HH2BH1 – прямоугольник. Диагонали H1H2 и BH – диаметры описанной окружности прямоугольника. Эта окружность проходит через точки M и N , т.к. из этих точек диаметр BH виден под прямым углом. Точка H1 лежит на биссектрисе вписанного угла MBN , поэтому H1 – середина дуги MN , не содержащей точки H2 , а т.к H1H2 – диаметр окружности, то точки H1 и H2 также равноудалены от концов отрезка MN . Таким образом, точки H1 , H2 и середина P отрезка AC лежат на серединном перпендикуляре к отрезку MN . Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4442