|
|
 |
Условие
H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC, D – середина стороны AC. Прямая, проходящая через точку H перпендикулярно отрезку DH, пересекает стороны AB и BC в точках E и F. Докажите, что HE = HF.Решение 1
Пусть AL и CK – высоты треугольника ABC (рис. слева). На продолжении отрезка HD за точку D отложим отрезок DH' = DH. Поскольку диагонали AC и HH' четырёхугольника AHCH' делятся точкой пересечения D пополам, этот четырёхугольник – параллелограмм. Значит, AH' || CK ⊥ AB. Аналогично
CH' ⊥ BC. Точки A и H лежат на окружности с диаметром EH', а точки C и H – на окружности с диаметром FH'. Следовательно,
∠EH'H = ∠EAH = ∠BAL = ∠BCK = ∠FCH = ∠FH'H.
Значит, высота H'H треугольника EH'F является его биссектрисой, а потому и медианой, то есть H – середина EF.
Решение 2
Пусть AL – высота треугольника ABC (рис. справа). Тогда ∠AHD = 90° – ∠AHE = 90° – ∠LHF = ∠LFH = ∠BFH. Кроме того, ∠HAD = ∠FBH.
Следовательно, треугольник AHD подобен треугольнику BFH по двум углам. Аналогично, треугольник CHD подобен треугольнику BEH.
Значит,
Решение 3
Через точку C проведём прямую, параллельную EF. Пусть она пересекает сторону AB в точке M (если она пересекает продолжение стороны AB , то проделаем аналогичное построение для вершины A). Тогда CM ⊥ HD. Пусть высота BG пересекает отрезок CM в точке N. Достаточно доказать, что
CN = NM. В свою очередь, для этого достаточно доказать, что DN – средняя линия треугольника AMC.
Поскольку CN ⊥ HD и HN ⊥ AD, N – точка пересечения высот треугольника CHD, поэтому DN ⊥ CH. Значит, DN || AB и N – середина CM.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4457 |
