Задача 108675

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Через точку S , лежащую вне окружности с центром O , проведены две касательные, касающиеся окружности в точках A и B , и секущая, пересекающая окружность в точках M и N . Прямые AB и SO пересекаются в точке K . Докажите, что точки M , N , K и O лежат на одной окружности.

Подсказка

Докажите, что SM ^. SN = SO ^. SK.

Решение

По теореме о касательной и секущей SM· SN = SA2 . С другой стороны, поскольку AK – высота прямоугольного треугольника OAS , проведённая из вершины прямого угла, то SA2 = SO· SK . Поэтому, SM· SN = SO· SK , а это означает, что точки M , N , K и O лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6200