ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108680
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан равносторонний треугольник ABC. Сторона BC разделена на три равные части точками K и L, а точка M делит сторону AC в отношении  1 : 2,  считая от вершины A. Докажите, что сумма углов AKM и ALM равна 30°.


Решение 1

Пусть точка L расположена ближе к вершине C, чем точка K. Тогда  MK || AB.  Поэтому треугольник KMC – равносторонний. Его медиана ML является биссектрисой. Значит,  ∠CML = 30°.  Кроме того, ∠AKM = ∠BAK (см. рис.).

Из равенства треугольников ACL и ABK следует, что  ∠CAL = ∠BAK = ∠AKM.  Следовательно,  ∠AKM + ∠ALM = ∠CAL + ∠ALM = ∠CML = 30°.


Решение 2

См. задачу 98309.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6205
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 59
Год 1996
вариант
Класс 8
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .