Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус окружности, описанной около треугольника, т.е.

где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус его описанной окружности.

   Решение

---

Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений  ax¹¹ + bx⁴ + c = 0,  bx¹¹ + cx⁴ + a = 0,  cx¹¹ + ax⁴ + b = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

   Решение

---

Точки K и L – середины сторон АВ и ВС правильного шестиугольника АВСDEF. Отрезки KD и LE пересекаются в точке М. Площадь треугольника DEM равна 12. Найдите площадь четырёхугольника KBLM.

   Решение

---

Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.

   Решение

---

Построить такой равнобедренный треугольник, чтобы периметр всякого вписанного в него прямоугольника (две вершины которого лежат на основании треугольника) был постоянный.

   Решение

Темы:    [ Периметр треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Построить такой равнобедренный треугольник, чтобы периметр всякого вписанного в него прямоугольника (две вершины которого лежат на основании треугольника) был постоянный.

Решение

Пусть ABC – искомый треугольник (см. рис.):  CA = CB,  периметр прямоугольника EFGH равен периметру прямоугольника E₁F₁G₁H₁. Если рассмотрим отрезки, из которых состоят периметры вписанных в равнобедренный треугольник прямоугольников, то заметим, что для равенства периметров необходимо, чтобы отрезок F₁K был равен сумме отрезков FK и EE₁ или 2FK (так как  FK = EE₁).  Отсюда следует, что построение сводится к построению равнобедренного треугольника, у которого высота равна основанию.

Источники и прецеденты использования