Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли расставить по кругу числа 1, 2, ..., 60 в таком порядке, чтобы сумма каждых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся шесть чисел, делилась на 7?

   Решение

---

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите угол между боковыми гранями пирамиды.

   Решение

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите угол между боковыми гранями пирамиды.

Решение

Пусть ABCD – правильная треугольная пирамида с вершиной P , F – основание перпендикуляра, опущенного из середины L ребра BC прямую AP . Прямая AL – ортогональная проекция наклонной AP на плоскость основания пирамиды. По теореме о трёх перпендикулярах AP BC , поэтому прямая AP перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BFC . Значит, прямая AP перпендикулярна плоскости BFC . Поэтому FL – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AP и BC . Из прямоугольного треугольника AFL находим, что

FL = AL sin FAL = AL sin DAM = · sin 60^o = .
Поскольку прямая AP перпендикулярна плоскости треугольника BFC , угол между боковыми гранями PAB и PAC – это угол BFC . Обозначим BFC = γ . В равнобедренном треугольнике BFC медиана FL является высотой и биссектрисой, поэтому в прямоугольном треугольнике BLF угол BFL равен ,
tg = = = .
По известной формуле тригонометрии можно найти и косинус угла между боковыми гранями данной пирамиды:
cos γ = = = .

Ответ

2 arctg = arccos .

Источники и прецеденты использования