Задача 108885

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Высоты AA1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке H , а описанные окружности треугольников ABC и A1BC1 пересекаются в точке M , отличной от B . Докажите, что прямая MH делит сторону AC пополам.

Решение

Пусть N – отличная от B точка пересечения прямой MH с описанной окружностью треугольника ABC . Из точек C1 и A1 отрезок BH виден под прямым углом, значит, точка H лежит на описанной окружности треугольника A1BC1 , причём BH – диаметр этой окружности. Тогда

BMN = BMH = 90^o,
поэтому BN – диаметр описанной окружности треугольника ABC . Тогда
BAN = BCN = 90^o,
а т.к. CH AB и AH BC , то CH || AN и AH || CN . Значит, четырёхугольник AHCN – параллелограмм. Следовательно, его диагональ NH (a значит, и прямая MH ) делит вторую диагональ AC пополам.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4474