Задача 108889

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC выбраны соответственно точки C₁, A₁ и B₁, причём отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Прямая, проходящая через точку B₁ параллельно AA₁, пересекает отрезок CC₁ в точке B₂. Прямая, проходящая через точку C₁ параллельно AA₁, пересекает отрезок BB₁ в точке C₂. Докажите, что прямые BC, B₁C₁ и B₂C₂ пересекаются в одной точке или параллельны.

Решение

  Точки пересечения прямых C₁C₂ и B₁B₂ со стороной BC обозначим через C₃ и B₃ соответственно. Точку пересечения отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ обозначим через O. Пусть среди прямых BC, B₁C₁ и B₂C₂ есть непараллельные, например, BC и B₂C₂. Обозначим их точку пересечения через D. Треугольник CB₂B₃ подобен треугольнику COA₁, а треугольник CB₁B₂ – треугольнику CAO, причём с тем же коэффициентом подобия. Значит,  B₂B₃ : B₂B₁ = A₁O : AO.  Аналогично  C₂C₃ : C₂C₁ = A₁O : AO.  Поэтому  B₂B₃ : C₂C₃ = B₂B₁ : C₂C₁.  Рассматривая отрезки B₁B₂, B₂B₃, C₁C₂, C₂C₃, лежащие на параллельных прямых, и прямые DB₁, DB₂, DB₃, мы видим, что прямая DB₁ должна проходить через точку C₁, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4478