Задача 108899

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Касающиеся окружности ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются друг друга. В большую из них вписан равносторонний треугольник, из вершин которого проведены касательные к меньшей. Докажите, что длина одной из этих касательных равна сумме длин двух других.

Решение

Докажем сначала следущее утверждение: если точка D лежит на меньшей дуге BC описанной окружности равностороннего треугольника ABC , то AD = BD+CD . Действительно, пусть D1 – образ точки D при повороте на 60^o вокруг вершины B , переводящем C в A (рис.1). Тогда

AD1B + BD1D = CDB + BD1D = 120^o + 60^o = 180^o.
Поэтому точка D1 лежит на отрезке AD . Следовательно,
AD = AD1 + D1D = BD + CD.
Что и требовалось доказать. Перейдём к нашей задаче. Рассмотрим случай внешнего касания окружностей (рис.1). Обозначим через R и r радиусы окружностей ( R>r ). Пусть окружности касаются в точке D . Для определённости будем считать, что точка D лежит на меньшей дуге BC окружности радиуса R , описанной около равностороннего треугольника ABC . Пусть прямые, проходящие через вершины A , B и C , касаются меньшей окружности в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Докажем, что AA1 = BB1+CC1 . Если прямые AD , BD и AC вторично пересекают меньшую окружность в точках A2 , B2 и C2 соответственно, то по теореме о касательной и секущей, а также из подобия соответствующих треугольников находим, что
AA12 = AA2· AD = (AD+AD)AD= AD2(1+),

BB12 = BB2· BD = (BD+BD)BD= BD2(1+),

CC12 = CC2· CD = (CD+CD)CD= CD2(1+).
Следовательно,
BB1+CC1 = BD+ CD = (BD+CD) =

=AD = AA1.
Что и требовалось доказать. Если окружности касаются внутренним образом, то последнее равенство будет иметь вид
BB1+CC1 = BD+ CD = (BD+CD) =

=AD = AA1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6248