Суммы плоских углов при каждой из трёх вершин тетраэдра равны по 180^o . Докажите, что все грани тетраэдра равны (т.е. тетраэдр – равногранный).

   Решение

В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.

   Решение

Докажите, что если все грани тетраэдра равны (равногранный тетраэдр), то его развёртка на плоскость грани есть треугольник.

   Решение

Касательная, проведенная через вершину M вписанного в окружность треугольника KLM, пересекает продолжение стороны KL за вершину L в точке N. Известно, что радиус окружности равен 2, KM = и MNK + KML = 4LKM. Найдите касательную MN.

   Решение

Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и притом только одну.

   Решение

Темы:    [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и притом только одну.

Решение

Пусть a и b – скрещивающиеся прямые. Через произвольную точку A прямой a проведём прямую b1 , параллельную прямой b (рис.1). Прямые a и b1 не могут совпасть, т.к. в противном случае прямая a была бы параллельна прямой b . Через пересекающиеся прямые a и b1 проведём плоскость β . Плоскость β параллельна прямой b , т.к. в плоскости β лежит прямая b1 , параллельная прямой b . Докажем, что построенная плоскость β единственна. Пусть плоскость γ также проходит через прямую a и параллельна прямой b (рис.2). Плоскости β и γ имеют общую прямую a . Через произвольную точку M прямой a и прямую b проведём плоскость. Эта плоскость должна пересечься с плоскостями β и γ по прямым, каждая из которых параллельна прямой b и поэтому отлична от прямой a . Значит, эти прямые совпадают. Таким образом, через две пересекающиеся прямые проведены две плоскости γ и β . Следовательно, плоскость γ совпадает с плоскостью β .

Источники и прецеденты использования