Задача 109188
|
|
 |
Условие
Вокруг правильного семиугольника описали окружность и вписали в него окружность. То же проделали с правильным 17-угольником. В результате каждый из многоугольников оказался расположенным в своем круговом кольце. Оказалось, что площади этих колец одинаковы. Докажите, что стороны многоугольников одинаковы.
Решение
Пусть 2a – длина стороны правильного многоугольника, r и R – радиусы вписанной и описанной окружности соответственно. Вписанная окружность касается стороны в её середине, поэтому проведённый туда радиус перпендикулярен стороне. По теореме Пифагора a² + r² = R². Поэтому площадь кольца между этими окружностями равна π(R² – r²) = πa², откуда и следует утверждение задачи.
Замечания
3 балла
