Задача 109262

Темы:    [ Ортоцентрический тетраэдр ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Сфера, касающаяся ребер тетраэдра ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Все рёбра треугольной пирамиды ABCD касаются некоторого шара. Три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся рёбер AB и CD , AC и BD , AD и BC , равны. Угол DBC равен 50^o , а угол BCD больше угла BDC . Найдите отношение площадей граней ABD и ABC .

Решение

Пусть каждый из отрезков, соединяющих середины противоположных рёбер тетраэдра ABCD , равен a . Достроим данный тетраэдр до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC) , проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (рис.1). Отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра ABCD , соответственно равны и параллельны рёбрам параллелепипеда AKBLNDMC , значит, все грани этого параллелепипеда – ромбы, все стороны которых равны a . По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма

AB2 + CD2 = 4a2, AC2 + BD2 = 4a2, AD2 + BC2 = 4a2.
Следовательно,
AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2.
Пусть шар касается рёбер AB , CD , AD и BC тетраэдра ABCD в точках E , F , G и H соответственно (рис.2). Тогда
AB + CD = (AE + BE) + (CF + DF) = (AG + BH) + (CH + DG) =

= (AG + DG) + (CH + BH) = AD + BC.
Аналогично, AC + BD = AB + CD и AD + BC = AB + CD . Рассмотрим равенства
AD2 + BC2 = AC2 + BD2, AD + BC = AC + BD.
Возведём обе части второго равенства в квадрат и из результата почленно вычтем первое. Получим систему

из которой следует, что (AD-BC)2 = (AC-BD)2 . Поэтому
AD - BC = AC - BD или AD - BC = BD - AC,
а т.к. AD + BC = AC + BD , то первом случае AD = AC и BC = BD , что невозможно, т.к. из условия задачи следует, что BC < BD , а во втором – AD = BD и BC = AC . Аналогично, из равенств
AD2 + BC2 = AB2 + CD2, AD + BC = AB + CD.
получим, что AD = AB и BC = CD или AD = CD и BC = AB . Второй случай невозможен, т.к. тогда из равенств AD = CD и AD = BD следует, что CD = BD , а значит,
BCD = CBD = 50^o, BDC = 80^o > BCD.
Таким образом, мы доказали, что
AD = BD, BC = AC, AD = AB, BC = CD,
поэтому
AB = AD = BD, BC = CD = AC,
т.е. ABCD – правильная треугольная пирамида с вершиной C (рис.3). Пусть T – середина AB . Тогда DT и CT – высоты треугольников ABD и ABC . Следовательно,
= = = = tg 40^o.

Ответ

tg 40^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8051