Задача 109316

Темы:    [ Касательные к сферам ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Через точку A , расположенную вне сферы, проведены две прямые. Одна из них касается сферы в точке B , а вторая пересекает её в точках C и D . Докажите, что AB2 = AC· AD .

Решение

Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через пересекающиеся прямые AB и AC . Получим окружность, к которой из точки A проведены касательная AB ( B – точка касания) и секущая ACD . По теореме о касательной и секущей AB2 = AC· AD . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8352