Задача 109358

Темы:    [ Свойства разверток ] [ Неравенства с трехгранными углами ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды ABCD с основанием ABC равен α . Правильная усечённая пирамида ABCA1B1C1 разрезана по пяти рёбрам: A1B1 , B1C1 , C1C , CA и AB . После чего эту пирамиду развернули на плоскость. При каких значениях α получившаяся развёртка будет обязательно накрывать сама себя?

Решение

Поверхность данной усечённой пирамиды ABCA1B1C1 состоит из трёх равнобедренных трапеций и двух правильных треугольников (рис.1). Рассмотрим часть развертки, состоящей из треугольника A1B1C1 , трапеции AA1C1C , трапеции AA1B1'B' и трапеции B1'B'C'C1' (рис.2). Развёртка будет самопересекающейся, если пересекаются отрезки A1B1 и B1'C1' . Пусть M – точка их пересечения. Тогда A1M < A1B1 , а т.к. в треугольнике A1MB1' против большей стороны A1B1' лежит больший угол, то A1MB1' > A1B1'M . Далее имеем:

B1'A1C1 = A1B1'M = A1B1'C1' = 360^o - BB'C' - BB'A1 =

= 360^o - 2(180^o - ) = 360^o - 360^o + 180^o - α = 180^o - α,

A1MB1' = 180^o - B1'A1M - A1B1'C1' =

= 180^o - (180^o - α - 60^o) - (180^o - α) = 2α - 120^o.
Из неравенства
180^o - α < 2α - 120^o
находим, что α > 100^o . Так как сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360^o , то 3α < 360^o , откуда α < 120^o .

Ответ

100^o < α < 120^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8417