Задача 109364

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Объем параллелепипеда ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с двумя из его граней углы α и β . Найдите объём параллелепипеда.

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в котором BD1 = d . Прямая AB перпендикулярна пересекающимся прямым AD и AA1 плоскости AA1D1D , поэтому прямая AB перпендикулярна плоскости AA1D1D . Значит, AB AD1 и AD1 – ортогональная проекция наклонной BD1 на плоскость AA1D1D . Аналогично, CD1 – ортогональная проекция наклонной BD1 на плоскость DD1C1C . Тогда AD1B и CD1B – углы прямой BD1 с плоскостями AA1D1D и DD1C1C соответственно. Пусть AD1B = α , CD1B = β . Из прямоугольных треугольников ABD1 , BCD1 и CDD1 находим, что

AB = BD1 sin α = d sin α, BC = BD1 sin β = d sin β,

CD1 = BD1 cos β = d cos β,

DD1 = = = =

= d.
Следовательно,
V_ABCDA1B1C1D1 = AB· BC· DD1 = d sin α · d sin β · d =

= d3 sin α sin β .

Ответ

d3 sin α sin β .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8444