Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках A, B, C и D, как показано на рисунке.
Периметр треугольника ABC равен 4. На лучах AB и AC отмечены точки X и Y так, что AX = AY = 1. Отрезки BC и XY пересекаются в точке M. Докажите, что периметр одного из треугольников ABM и ACM равен 2.
Разрежьте фигуру на рис. на 8 одинаковых частей.
Найти сумму 1 + 2002 + 20022 + ... + 2002n.
В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 1993. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число k, то первые k чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте окажется число 1.
|
|
 |
Условие
В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 1993. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число k, то первые k чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте окажется число 1.
Решение
Индукцией по n докажем это утверждение для строки, в которую записаны числа от 1 до n.
База. При n = 1 на первом месте уже стоит число 1.
Шаг индукции. Если в результате применения описанных операций к строке из n чисел число n окажется на последнем месте, то к первым n – 1 числам можно применить предположение индукции, так как число n уже никуда не переместится.
Если же число n никогда не окажется на последнем месте, то оно не окажется и на первом месте. Значит число, находящееся на последнем месте, никуда не перемещается. Поэтому, поменяв местами число n и число, стоящее на последнем месте, мы никак не изменим происходящего. Но теперь к первым n – 1 числам можно применить предположение индукции.
