Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Дана окружность с центром O и не лежащая на ней точка P. Пусть X – произвольная точка окружности, Y – точка пересечения биссектрисы угла POX и серединного перпендикуляра к отрезку PX. Найдите геометрическое место точек Y.
РешениеВася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.
Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?
Решение
|
|
 |
Условие
На доске написано n выражений вида *x² + *x + * = 0 (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?
Решение
Приведём стратегию первого игрока, позволяющую ему получить не менее n+1/2 уравнений, не имеющих корней.
Назовём распечатыванием выражения первую замену в нем звёздочки на число. Своим первым ходом, а также в ответ на любой распечатывающий ход второго игрока, первый игрок распечатывает одно из оставшихся выражений, записывая 1 перед x. Если второй игрок записывает число a перед x² или вместо свободного члена в выражении, распечатанном первым, то в ответ первый записывает на оставшееся место число 1/a. Дискриминант получившегося уравнения (D = 1 – 4 = –3) отрицателен, поэтому оно не имеет корней. Если же второй игрок запишет число вместо одной из двух звёздочек в ранее распечатанном им выражении, то первый произвольным образом заполняет в этом выражении оставшееся место. Ясно, что описанная стратегия позволяет первому игроку распечатать n+1/2 выражений, которые он в ходе игры превращает в уравнения, не имеющие корней.
Осталось показать, что второй игрок, мешая первому, может получить n–1/2 уравнений, имеющих корни. В самом деле, второй игрок может n–1/2 раз распечатать выражения, записывая число 1 перед x². Как бы ни играл первый игрок, второй сумеет поставить ещё по одному числу в каждое из распечатанных им выражений. Если место свободного члена не занято, то, записывая на него –1, второй игрок обеспечивает наличие корней. Если же вместо свободного члена первым игроком было записано число c, то второму достаточно записать перед x число и дискриминант полученного уравнения окажется положительным.
Ответ
n+1/2.
