Задача 109532

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Векторы сторон многоугольников ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Токарев С.И.

Дан правильный 2n-угольник.
Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.

Решение 1

  Будем называть диагональ правильного многоугольника главной, если она проходит через его центр. Для каждой неглавной диагонали существует симметричная ей относительно центра неглавная диагональ. Таким образом, все неглавные диагонали разбиваются на пары. Поставив в каждой такой паре стрелки в противоположных направлениях, мы получим векторы, дающие в сумме 0 (рис. слева).

  Осталось расставить стрелки на сторонах и главных диагоналях. В случае  n = 2k + 1  сначала расставим стрелки по циклу
A₁A_n+1A_n+2A₂A₃A_n+3A_n+4...A_2n–2A_2n–1A_n–1A_nA_2nA₁, полученные векторы в сумме дадут 0 (рис. справа).   В случае  n = 2k  выделим в многоугольнике циклы, состоящие из пар соседних главных диагоналей и соединяющих их сторон. В каждом цикле поставим стрелки так, чтобы сумма получившихся векторов была равна 0.
  В обоих случаях осталось поставить стрелки на сторонах, взятых через одну. Расставим их по циклу и получим 0, так как каждый вектор переходит в следующий при повороте на угол ^2π/_n вокруг центра.

Решение 2

  Взяв вершины 2n-угольника  (n ≥ 3)  через одну, получим два правильных n-угольника M₁ и M₂. Предположим, что мы умеем решать задачу для правильного n-угольника. Для того чтобы решить её для 2n-угольника, достаточно расставить стрелки на сторонах и диагоналях каждого из многоугольников M₁ и M₂, а потом из каждой вершины M₁ провести векторы во все вершины M₂. Последняя система векторов переходит в себя при повороте на угол ^2π/_n вокруг центра, следовательно, её сумма равна 0 (рис. слева).

  Если n нечётно, проведём из каждой вершины векторы в следующие за ней  ^n–1/₂  вершин. Их сумма равна 0, так как она не изменится при повороте на угол ^2π/_n вокруг центра (рис. справа).
  Итак, мы можем, начав с квадрата (для него утверждение очевидно) или нечётноугольника, удвоением числа сторон получить требуемую расстановку стрелок для любого правильного 2n-угольника.

Замечания

Утверждение верно не только для правильного, но и для любого нечётноугольника, поскольку весь набор сторон и диагоналей разбивается на цикл из сторон, цикл из диагоналей, соединяющих вершины через одну, циклы из диагоналей, соединяющих вершины через две (их может быть несколько), через три, ... и т. д. Можно также сослаться на теорему Эйлера о существовании эйлерова цикла (см. решение задачи 30806).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1993
Этап
Вариант	4
класс
Класс	11
задача
Номер	93.4.11.4