ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109533
Темы:    [ Кубические многочлены ]
[ Теорема о промежуточном значении. Связность ]
[ Теория игр (прочее) ]
[ Производная и экстремумы ]
[ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доске написано:  x³ + ...x² + ...x + ... = 0.  Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?


Решение

  Начинающий может добиться наличия ровно одного корня независимо от игры соперника. Для этого ему достаточно своим первым ходом вписать коэффициент 0 при x². После этого второй игрок задает либо свободный член, либо коэффициент при x.
  В первом случае начинающему достаточно вторым ходом обнулить коэффициент при x. Действительно, полученное уравнение имеет ровно один корень, так как функция  y = x³ + c  возрастает на всей действительной оси.
  Во втором случае начинающему нужно подходящим образом выбрать коэффициент c у функции  f(x) = x³ + bx + c.  Если  b ≥ 0,  то  f  возрастает, следовательно, уравнение  f(x) = 0  имеет ровно один корень. Если же второй игрок задал отрицательное значение b, то, как нетрудно проверить, функция  f1(x) = x³ + bx  имеет единственный локальный минимум (пусть он равен – m) в некоторой точке x0 и возрастает при  x ≤ – x0  и  x ≥ x0.  Поэтому начинающему достаточно выбрать  c > m  для того, чтобы уравнение  x³ + bx + c = 0  имело ровно один корень.


Ответ

Не сможет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 4
класс
Класс 11
задача
Номер 93.4.11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .