Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус окружности, описанной около треугольника, т.е.
Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений ax11 + bx4 + c = 0, bx11 + cx4 + a = 0, cx11 + ax4 + b = 0 имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.
Точки K и L – середины сторон АВ и ВС правильного шестиугольника АВСDEF. Отрезки KD и LE пересекаются в точке М. Площадь треугольника DEM равна 12. Найдите площадь четырёхугольника KBLM.
Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.
Построить такой равнобедренный треугольник, чтобы периметр всякого вписанного в него прямоугольника (две вершины которого лежат на основании треугольника) был постоянный.
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум данным сторонам, если известно, что медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом.
Решите уравнение:
Докажите, что если (x+)(y+
)=1 , то x+y=0 .
|
|
 |
Условие
Докажите, что если (x+)(y+
)=1 , то x+y=0 .
Решение
Умножая обе части данного неравенства на x- , получаем, что
-y-
=x-
. Аналогично, умножая обе части данного равенства на
y-
, приходим к равенству -x-
=y-
.
Складывая полученные равенства, приходим к равенству -(x+y)=x+y , откуда
x+y=0 .
Заметим, что функция f(x)=x+
возрастает при
x
0 ; при x<0 она также возрастает, так как
f(x)=
и знаменатель, очевидно, убывает.
Поэтому при фиксированном y у данного уравнения не больше одного
решения; с другой стороны, x=-y – очевидно, рещение уравнения.
