В правильном (6n+1)-угольнике K вершин покрашено в красный цвет, а остальные – в синий.
Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.

   Решение

Пять прямых проходят через одну точку. Докажите, что существует замкнутая пятизвенная ломаная, вершины и середины звеньев которой лежат на этих прямых, причём на каждой прямой лежит ровно по одной вершине.

   Решение

На шахматной доске 100×100 расставлено 100 не бьющих друг друга ферзей.
Докажите, что в каждом угловом квадрате 50×50 находится хотя бы один ферзь.

   Решение

Прямоугольный лист бумаги согнули, совместив вершину с серединой противоположной короткой стороны (см. рис.). Оказалось, что треугольники I и II равны. Найдите длинную сторону прямоугольника, если короткая равна 8.

   Решение

Внутри параболы  y = x²  расположены несовпадающие окружности ω₁, ω₂, ω₃, ... так, что при каждом n > 1 окружность ω_n касается ветвей параболы и внешним образом окружности ω_n–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ₁₉₉₈, если известно, что диаметр ω₁ равен 1 и она касается параболы в её вершине.

   Решение

Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Касающиеся окружности ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Внутри параболы  y = x²  расположены несовпадающие окружности ω₁, ω₂, ω₃, ... так, что при каждом n > 1 окружность ω_n касается ветвей параболы и внешним образом окружности ω_n–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ₁₉₉₈, если известно, что диаметр ω₁ равен 1 и она касается параболы в её вершине.

Решение

  Докажем по индукции, что радиус r_n окружности ω_n равен  n – ½,  а её центр – точка  (0, n² – n + ½).  База дана в условии.
  Шаг индукции. Верхняя точка окружности ω_n имеет ординату  n² – n + ½ + n – ½ = n².  Поэтому центр окружности ω_n+1 радиуса  n + ½,  касающейся σ_n в верхней точке имеет координаты  (0, n² + n + ½).  Значит, уравнение окружности σ_n+1 имеет вид
x² + (y – n² – n – ½)² = (n + ½)²  или  x² + (y – n²)² – 2(y – n²)(n + ½) = 0.  Подставляя в него y вместо x², получим
y – n² + (y – n²)² – 2(y – n²)(n + ½) + n² = 0,  то есть  (y – n² – n)² = 0.  Таким образом, это уравнение имеет единственное решение  y = n² + n.  Следовательно, окружность ω_n+1 имеет с параболой  y = x²  ровно две общие точки (с указанной ординатой). Это и значит, что она касается параболы.

Ответ

r₁₉₉₈ = 1997,5.

Замечания

Аналогичная задача для 1987 окружностей предлагалась на Всероссийской студенческой олимпиаде 1987 г.

Источники и прецеденты использования