Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Петя склеил бумажный кубик и записал на его гранях числа от 1 до 6 так, чтобы суммы чисел на любых двух противоположных гранях были одинаковыми. Вася хочет разрезать этот кубик так, чтобы получить развёртку, показанную на рисунке. При этом Вася старается, чтобы суммы чисел по горизонтали и по вертикали в этой развёртке отличались как можно меньше. Какая самая маленькая положительная разность может у него получиться, независимо от того, каким образом расставлял числа Петя?
Решение Пусть О – центр правильного многоугольника A1A2A3...An, X
– произвольная точка плоскости. Докажите, что:
a)
б)
РешениеНайдите точку минимума функции y = (3x2-18x+18)ex-18 .
Решение
|
|
 |
Условие
Через вершину A тетраэдра ABCD проведена плоскость, касательная к описанной около него сфере. Докажите, что линии пересечения этой плоскости с плоскостями граней ABC, ACD и ABD образуют шесть равных углов тогда и только тогда, когда AB·CD = AC·BD = AD·BC.
Решение
Проведём плоскость, параллельную касательной плоскости, пересекающую ребра AB, AC и AD в точках B1, C1 и D1 соответственно. В плоскости ABC получим конфигурацию, изображенную на рисунке.
Аналогично C1D1 : CD = AC1 : AD = AD1 : AC и B1D1 : BD = AD1 : AB = AB1 : AD.
Из этих равенств вытекает, что
Значит, треугольник A1B1C1 – равносторонний тогда и только тогда, когда AB·CD = AC·BD = AD·BC. Осталось заметить, что углы, образуемые указанными в условии линиями пересечения, соответственно равны углам треугольника B1C1D1.
