Задача 109707

Тема:    [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Агаханов Н.Х., Подлипский О.К.

Найдите все функции f : , которые для всех x,y,z удовлетворяют неравенству f(x+y)+f(y+z)+f(z+x) 3f(x+2y+3z).

Решение

Положив x=y=-z , получаем f(2x)+f(0)+f(0) 3f(0) , откуда f(2x) f(0) . С другой стороны, положив x=z=-y , получаем f(0)+f(0)+f(2x) 3f(2x) , откуда f(2x) f(0) . Итак, f(0) f(2x) f(0) , т.е. f(2x)==C . Легко проверить, что при любом C функция f(x)= C удовлетворяет неравенству.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	00.5.11.1