Задача 109712

Темы:    [ Количество и сумма делителей числа ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Условие

Автор: Храбров А.

Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.

Решение

Предположим, что совершенное число равно 7n, где n не кратно 7. Тогда все натуральные делители числа 7n (включая его самого) можно разбить на пары d и 7d, где d не делится на 7. Следовательно, сумма всех делителей числа 7n (она равна 14n) делится на 8. Отсюда n кратно 4. Заметим, что числа ⁷ⁿ/₂, ⁷ⁿ/₄, n, ⁿ/₂, ⁿ/₄ и 1 – различные делители числа 7n, а их сумма равна  7n + 1 > 7n,  откуда следует, что число 7n не может быть совершенным. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	00.5.11.6