ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109712
Темы:    [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Храбров А.

Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.


Решение

Предположим, что совершенное число равно 7n, где n не кратно 7. Тогда все натуральные делители числа 7n (включая его самого) можно разбить на пары d и 7d, где d не делится на 7. Следовательно, сумма всех делителей числа 7n (она равна 14n) делится на 8. Отсюда n кратно 4. Заметим, что числа 7n/2, 7n/4, n, n/2, n/4 и 1 – различные делители числа 7n, а их сумма равна  7n + 1 > 7n,  откуда следует, что число 7n не может быть совершенным. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2000
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 00.5.11.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .