Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фольклор

В тетраэдре ABCD плоские углы BAD и BCD – тупые. Сравните длины ребер AC и BD.

Вниз   Решение


Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2p равносторонний имеет наибольшую плошадь.

ВверхВниз   Решение


Рассматриваются такие квадратичные функции  f(x) = ax² + bx + c,  что  a < b  и  f(x) ≥ 0  для всех x.
Какое наименьшее значение может принимать выражение  a+b+c/b–a ?

ВверхВниз   Решение


Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:  

Вверх   Решение

Задача 109792
Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Неравенства. Метод интервалов ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:  


Решение 1

Заметим, что     (мы использовали неравенство     между средним арифметическим и средним гармоническим для положительных x, y). Осталось сложить три аналогичных неравенства.


Решение 2

  Не умаляя общности, можно считать, что  a ≥ b ≥ c,  тогда  1 – c² ≥ 1 – b² ≥ 1 – a²  и, следовательно,  

  Заметим, что     Таким образом, нужно доказать неравенство  
  Поскольку сумма числителей равна 0, неравенство будет доказано, если мы заменим знаменатели на равные таким образом, что каждая дробь при этом не увеличится. Если  a ≥ b ≥ ⅓ ≥ c,  то заменим все знаменатели на  1 – c²,  в результате отрицательное слагаемое не изменится, а положительные не увеличатся. Если  a ≥ ⅓ b ≥ c,  то заменим все знаменатели на  1 – b²,  тогда положительное слагаемое и одно из отрицательных только уменьшатся, а второе отрицательное слагаемое останется неизменным.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2003
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 03.5.9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .